పేజీ 109 & 111
4 భాజనీయతా సూత్రం - ఇవి చేయండి
-
1) 4 చే భాగించబడు సంఖ్యలకు సున్నా చుట్టండి. 4 చే భాగింపబడని సంఖ్యలకు కారణం తెలపండి.
సంఖ్యలు: 2436, 3840, 1235, 3636, 6850, 5644, 8888, 6430.4 చే భాగించబడు సంఖ్యలు: 2436, 3840, 3636, 5644, 8888 (చివరి రెండు అంకెలు 4 చే భాగించబడతాయి).
4 చే భాగింపబడని సంఖ్యలకు కారణాలు:
- 1235: చివరి రెండు అంకెలు '35' అనేది 4 చే భాగించబడదు.
- 6850: చివరి రెండు అంకెలు '50' అనేది 4 చే భాగించబడదు.
- 6430: చివరి రెండు అంకెలు '30' అనేది 4 చే భాగించబడదు. -
2) కింది సంఖ్యలు 4 చే భాగించబడాలంటే సరియైన అంకెలతో ఖాళీలను నింపండి.
అ) 3232 (లేదా 3236)
ఆ) 3040 (లేదా 3044, 3048)
ఇ) 5816 (లేదా 5836, 5856, 5876, 5896)
ఈ) 532 (లేదా 536)
ఉ) 6500 (లేదా 6504, 6508, 6512...)
పేజీ 113
8 భాజనీయతా సూత్రం - ఇవి చేయండి
-
కింది ఇవ్వబడిన సంఖ్యలలో 8 తో భాగింపబడే సంఖ్యలకు సున్నా చుట్టండి: 42456, 73971, 68240, 93230, 27000.
8 తో భాగింపబడే సంఖ్యలు: 42456, 68240, 27000
వివరణ:
- 42456: చివరి 3 అంకెలు 456 ÷ 8 = 57 (నిశ్శేషంగా భాగింపబడుతుంది)
- 73971: బేసి సంఖ్య కావున 8 చే భాగించబడదు
- 68240: చివరి 3 అంకెలు 240 ÷ 8 = 30 (నిశ్శేషంగా భాగింపబడుతుంది)
- 93230: చివరి 3 అంకెలు 230 ÷ 8 శేషం 6 వస్తుంది (భాగించబడదు)
- 27000: చివరి 3 అంకెలు 000 (8 చే నిశ్శేషంగా భాగింపబడుతుంది)
పేజీ 115
అభ్యాసం - 1
ప్రశ్నలు 1 నుండి 6
-
1. 2 భాజనీయతా సూత్రం ఉపయోగించి, 2 చే భాగించబడు సంఖ్యలకు సున్నా చుట్టండి: 3624, 3549, 7864, 8420, 8500, 8646, 5007, 7788.
2 చే భాగించబడు సంఖ్యలు: 3624, 7864, 8420, 8500, 8646, 7788 (ఒకట్ల స్థానంలో సరి అంకెలు 0, 4, 6, 8 కలవి).
-
2. 4 _ 8 సంఖ్య నాలుగుచే నిశ్శేషంగా భాగించబడితే, ఖాళీలో ఉంచదగ్గ అంకె ఏది?
ఖాళీలో 0, 2, 4, 6, 8 లలో ఏదైనా ఒక సరి అంకెను ఉంచవచ్చు (ఉదా: 408 లేదా 428 లేదా 448).
-
3. కింది ఇవ్వబడిన సంఖ్యలు 2 మరియు 10 లచే భాగించబడాలంటే ఖాళీలలో ఉండాల్సిన అంకె.
6780, 5880, 3880, 2220, 3640, 7860, 6660, 7880 (ఒకట్ల స్థానంలో తప్పనిసరిగా 0 ఉండాలి). -
4. 4 మరియు 8 లచే భాగించబడు సంఖ్యలను గుర్తించండి: 2104, 726352, 1800, 32256, 52248, 25608.
4 మరియు 8 లచే భాగించబడు సంఖ్యలు: 2104, 726352, 1800, 32256, 52248, 25608 (ఇచ్చిన అన్ని సంఖ్యలు 4 మరియు 8 లచే నిశ్శేషంగా భాగించబడతాయి).
-
5. ఇచ్చిన సంఖ్యతో భాగించబడాలంటే ఖాళీలను సరియైన సంఖ్యలతో పూరించండి:
అ) 3950 ను 10 తో
ఆ) 20712 (లేదా 6) ను 4 తో
ఇ) 92048 ను 2 తో (చివర 8 ఉంది కావున అంకె 8)
ఈ) 1456 ను 8 తో (56 ÷ 8 = 7)
ఉ) 23400 (లేదా 5) ను 5 తో -
6. 2887 కు ఏ కనిష్ఠ సంఖ్యను కలిపితే అది 4 చే నిశ్శేషంగా భాగించబడుతుంది?
2887 ను 4 చే భాగించగా శేషం 3 వస్తుంది.
కలపవలసిన కనిష్ఠ సంఖ్య = 4 - 3 = 1 (2887 + 1 = 2888, ఇది 4 చే భాగించబడుతుంది).
పేజీ 117
ఉమ్మడి గుణిజాలు - ఇవి చేయండి
-
కింది ఇవ్వబడిన సంఖ్యల మొదటి 10 గుణిజాలు రాసి, అందలి ఉమ్మడి గుణిజాలను వేరు చేయండి.
అ) 2 మరియు 42 గుణిజాలు: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20
4 గుణిజాలు: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40
ఉమ్మడి గుణిజాలు: 4, 8, 12, 16, 20 -
ఆ) 4 మరియు 12
4 గుణిజాలు: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40
12 గుణిజాలు: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120
ఉమ్మడి గుణిజాలు: 12, 24, 36 -
ఇ) 6 మరియు 8
6 గుణిజాలు: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60
8 గుణిజాలు: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80
ఉమ్మడి గుణిజాలు: 24, 48 -
ఈ) 5 మరియు 10
5 గుణిజాలు: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50
10 గుణిజాలు: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100
ఉమ్మడి గుణిజాలు: 10, 20, 30, 40, 50
పేజీ 119
కనిష్ఠ సామాన్య గుణిజం (క.సా.గు) - ఇవి చేయండి
-
1. కింది ఇచ్చిన సంఖ్యల క.సా.గు కనుగొనండి?
అ) 12, 15 → క.సా.గు = 60
ఆ) 16, 20 → క.సా.గు = 80
ఇ) 8, 12, 20 → క.సా.గు = 120
ఈ) 15, 20 → క.సా.గు = 60
ఉ) 6, 9, 12 → క.సా.గు = 36 -
2. కింది ఇచ్చిన సంఖ్యల క.సా.గు కనుగొనండి. ఏమి గమనించారు?
అ) 15, 30 → క.సా.గు = 30
ఆ) 4, 16 → క.సా.గు = 16
ఇ) 5, 15 → క.సా.గు = 15
ఈ) 6, 18 → క.సా.గు = 18పరిశీలన: ఇచ్చిన రెండు సంఖ్యలలో ఒకటి రెండవ దానికి గుణిజం అయితే, పెద్ద సంఖ్యే ఆ రెండు సంఖ్యల క.సా.గు అవుతుంది.
పేజీ 121 & 123
కారణాంకాలు కృత్యం
- 10 కారణాంకాలు: 1 × 10 = 10, 2 × 5 = 10. కారణాంకాలు: 1, 2, 5, 10
- 14 కారణాంకాలు: 1 × 14 = 14, 2 × 7 = 14. కారణాంకాలు: 1, 2, 7, 14
పేజీ 125
కారణాంకాలు & ప్రధాన సంఖ్యలు - ఇవి చేయండి
-
1) కింది సంఖ్యల కారణాంకాలన్నింటిని కనుక్కోండి.
అ) 21 : 1, 3, 7, 21
ఆ) 38 : 1, 2, 19, 38 -
2) మొదటి సంఖ్య రెండవ సంఖ్యకు కారణాంకమో కాదో కనుక్కోండి.
అ) 14; 322 → అవును (322 ÷ 14 = 23)
ఆ) 16; 832 → అవును (832 ÷ 16 = 52)
ఇ) 5; 425 → అవును (425 ÷ 5 = 85)
ఈ) 25; 3500 → అవును (3500 ÷ 25 = 140)
ఉ) 8; 48 → అవును (48 ÷ 8 = 6)
ఊ) 14; 37 → కాదు (37 ÷ 14 శేషం 9)
ఋ) 15; 75 → అవును (75 ÷ 15 = 5)
ౠ) 12; 72 → అవును (72 ÷ 12 = 6) -
3) 22 యొక్క బేసి కారణాంకాలను కనుక్కోండి.
22 కారణాంకాలు = 1, 2, 11, 22. బేసి కారణాంకాలు = 1, 11
-
4) 34 యొక్క అన్ని సరి కారణాంకాలను రాయండి.
34 కారణాంకాలు = 1, 2, 17, 34. సరి కారణాంకాలు = 2, 34
- 5) 30 లోపు ప్రధాన / సంయుక్త సంఖ్యలను పట్టికలో నమోదు చేయండి.
| ప్రధాన సంఖ్య | సంయుక్త సంఖ్య |
|---|---|
| 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 | 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28 |
పేజీ 127
ఎరిటోస్తనీస్ జల్లెడ పట్టిక
| సంఖ్యలు | 1-10 | 10-20 | 20-50 | 50-100 |
|---|---|---|---|---|
| ప్రధాన సంఖ్యలు | 2, 3, 5, 7 | 11, 13, 17, 19 | 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47 | 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 |
-
1. 1 నుండి 100 వరకు గల ప్రధానసంఖ్యలు ఎన్ని?
మొత్తం ప్రధాన సంఖ్యలు = 25
-
2. ప్రధాన సంఖ్యలన్నీ సరిసంఖ్యలా లేదా బేసిసంఖ్యలా?
'2' తప్ప మిగిలిన ప్రధాన సంఖ్యలన్నీ బేసి సంఖ్యలే. '2' మాత్రమే సరి ప్రధాన సంఖ్య.
పేజీ 131
ప్రధాన కారణాంకాల లబ్దం - ఇవి చేయండి
-
1) కింది సంఖ్యలను ప్రధాన కారణాంకాల లబ్దంగా రాయండి.
అ) 52 = 2 × 2 × 13
ఆ) 100 = 2 × 2 × 5 × 5
ఇ) 88 = 2 × 2 × 2 × 11
ఈ) 90 = 2 × 3 × 3 × 5 -
2) 12 × 15 యొక్క ప్రధాన కారణాంకాల లబ్దం:
12 = 2 × 2 × 3, 15 = 3 × 5
12 × 15 = 2 × 2 × 3 × 3 × 5
3) జతపరచండి
| A | Ans | B |
|---|---|---|
| అ) 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 | ( 2 ) | 1) 180 |
| ఆ) 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5 | ( 4 ) | 2) 360 |
| ఇ) 2 × 2 × 3 × 3 × 5 | ( 1 ) | 3) 900 |
| ఈ) 2 × 3 × 3 × 5 × 5 | ( 5 ) | 4) 600 |
| ఉ) 2 × 2 × 3 × 3 × 5 × 5 | ( 3 ) | 5) 450 |
- 4) 5 × 2 × 3 × 3 అనేది 90 యొక్క ప్రధాన కారణాంక లబ్ధం.
పేజీ 133 & 135
గరిష్ఠ సామాన్య భాజకము (గ.సా.భా) - ఇవి చేయండి
-
ఇచ్చిన సంఖ్యల గ.సా.భాను ఉమ్మడి కారణాంక పద్ధతిని ఉపయోగించి కనుగొనండి:
1) 21 మరియు 28 : 21 కారణాంకాలు = 1, 3, 7, 21; 28 కారణాంకాలు = 1, 2, 4, 7, 14, 28 → గ.సా.భా = 7
2) 34 మరియు 20 : 34 కారణాంకాలు = 1, 2, 17, 34; 20 కారణాంకాలు = 1, 2, 4, 5, 10, 20 → గ.సా.భా = 2
3) 33 మరియు 39 : 33 కారణాంకాలు = 1, 3, 11, 33; 39 కారణాంకాలు = 1, 3, 13, 39 → గ.సా.భా = 3
4) 16 మరియు 36 : 16 కారణాంకాలు = 1, 2, 4, 8, 16; 36 కారణాంకాలు = 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 → గ.సా.భా = 4
5) 12 మరియు 18 : 12 కారణాంకాలు = 1, 2, 3, 4, 6, 12; 18 కారణాంకాలు = 1, 2, 3, 6, 9, 18 → గ.సా.భా = 6
6) 80 మరియు 100 : 80 కారణాంకాలు = 1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 40, 80; 100 కారణాంకాలు = 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100 → గ.సా.భా = 20
పేజీ 139
క.సా.గు మరియు గ.సా.భా పద్ధతులు - ఇవి చేయండి
-
1) ప్రధాన కారణాంక విభజన పద్ధతిలో క.సా.గు మరియు గ.సా.భా లను కనుగొనండి:
అ) 15, 48 → 15 = 3 × 5, 48 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3
గ.సా.భా = 3, క.సా.గు = 240 -
ఆ) 18, 48 → 18 = 2 × 3 × 3, 48 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3
గ.సా.భా = 6, క.సా.గు = 144 -
ఇ) 15, 25 → 15 = 3 × 5, 25 = 5 × 5
గ.సా.భా = 5, క.సా.గు = 75 -
2) భాగహార పద్ధతిలో క.సా.గు మరియు గ.సా.భా లను కనుగొనండి:
అ) 28, 36 → గ.సా.భా = 4, క.సా.గు = 252
ఆ) 12, 18 → గ.సా.భా = 6, క.సా.గు = 36
ఇ) 30, 90 → గ.సా.భా = 30, క.సా.గు = 90
పేజీ 141
రెండు సంఖ్యల లబ్దం = గ.సా.భా × క.సా.గు పట్టిక
| వ.సం | మొదటి సంఖ్య | రెండవ సంఖ్య | రెండు సంఖ్యల లబ్ధం | గ.సా.భా | క.సా.గు | గ.సా.భా × క.సా.గు |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 9 | 12 | 108 | 3 | 36 | 108 |
| 2 | 15 | 20 | 300 | 5 | 60 | 300 |
| 3 | 18 | 15 | 270 | 3 | 90 | 270 |
| 4 | 8 | 12 | 96 | 4 | 24 | 96 |
-
2. రెండు సంఖ్యల గ.సా.భా 3 మరియు వాటి క.సా.గు 90. అందులో ఒక సంఖ్య 15 అయితే రెండవ సంఖ్యను కనుగొనండి?
రెండవ సంఖ్య = (గ.సా.భా × క.సా.గు) ÷ మొదటి సంఖ్య = (3 × 90) ÷ 15 = 270 ÷ 15 = 18
పేజీ 143 & 145
అభ్యాసం - 2
క.సా.గు మరియు గ.సా.భా లపై నిజజీవిత సమస్యలు
-
1) రెండు సంఖ్యల గ.సా.భా. 6 మరియు వాటి క.సా.గు. 72. అందులో ఒక సంఖ్య 18 అయితే, రెండవ సంఖ్యను కనుగొనండి.
రెండవ సంఖ్య = (6 × 72) ÷ 18 = 432 ÷ 18 = 24
-
2) రెండు సంఖ్యల గ.సా.భా. 6. వాటి క.సా.గు. 36. అందులో ఒక సంఖ్య 12 అయితే, రెండవ సంఖ్యను కనుగొనండి.
రెండవ సంఖ్య = (6 × 36) ÷ 12 = 216 ÷ 12 = 18
-
3) సీత ప్రతి 6వ రోజున మరియు గీత ప్రతి 8వ రోజున వ్యాయామం చేస్తారు. ఈ రోజు వారిద్దరూ వ్యాయామం చేశారు. ఎన్ని రోజుల తర్వాత వారు మళ్లీ కలిసి వ్యాయామం చేస్తారు?
6 మరియు 8 ల క.సా.గు = 24 రోజుల తర్వాత.
-
4) రాము దగ్గర 16 నీలం రంగు గోళీలు మరియు 12 నల్ల గోళీలు ఉన్నాయి. అతను వాటిని ఒక్క గోళీ కూడా మిగలకుండా సమాన సమూహాలుగా చేయాలంటే, ఒక్కొక్క సమూహంలో ఉంచవలసిన గరిష్ఠ గోళీల సంఖ్య ఎంత?
16 మరియు 12 ల గ.సా.భా = 4 గోళీలు.
-
5) రెండు నియాన్ బల్బులను ఒకేసారి స్విచ్ వేయగా ఒకటి ప్రతి 4 సెకన్లకు మరొకటి ప్రతి 6 సెకన్లకు బ్లింక్ అవుతుంది. ఒక నిమిషంలో ఎన్నిసార్లు ఒకేసారి బ్లింక్ అవుతాయి? (1 నిమిషం = 60 సెకన్లు)
4 మరియు 6 ల క.సా.గు = 12 సెకన్లు.
60 సెకన్లలో బ్లింక్ అయ్యే సంఖ్య = 60 ÷ 12 = 5 సార్లు. -
6) 40 మంది బాలికలు మరియు 32 మంది బాలురు రాష్ట్రస్థాయి ఆటల పోటీలలో పాల్గొనదలచినారు. ప్రతి జట్టు నందు సమాన సంఖ్యలో బాలురు మరియు బాలికలు ఉండాలి.
అ) ప్రతి జట్టులో గల బాలురు, బాలికల సంఖ్య ఎంత?
ఆ) ప్రతి జట్టులోనూ ఉండే గరిష్ఠ విద్యార్థుల సంఖ్య ఎంత?జట్ల సంఖ్య = 40 మరియు 32 ల గ.సా.భా = 8 జట్లు.
అ) ప్రతి జట్టులో: 40 ÷ 8 = 5 మంది బాలికలు మరియు 32 ÷ 8 = 4 గురు బాలురు ఉంటారు.
ఆ) ప్రతి జట్టులోని మొత్తం విద్యార్థులు = 5 + 4 = 9 మంది. -
7) ఒక ఆడిటోరియం నందు గల మొత్తం కుర్చీలను ప్రతీ వరుసకు 27 కుర్చీలు లేదా 33 కుర్చీలు ఉండేలా ఏర్పాటు చేయాలంటే కావలసిన కనీస కుర్చీల సంఖ్య ఎంత?
27 మరియు 33 ల క.సా.గు = 297 కుర్చీలు.
-
8) రెండు కంటే ఎక్కువ కారణాంకాలు ఉన్న సంఖ్య
Answer: ఈ) సంయుక్త సంఖ్య
-
9) కింది వాటిలో ఏ సంఖ్య 56 యొక్క కారణాంకం కాదు?
Answer: ఆ) 6
-
10) కింది వాటిలో ఏ సంఖ్య 2, 5 మరియు 10 అన్నింటిచే ఖచ్చితంగా భాగించబడుతుంది?
Answer: ఆ) 360
-
11) ఒక సంఖ్య 8 చే భాగించబడితే, దాని చివరి ________ అంకెలు 8 చే భాగించబడును.
Answer: ఆ) 3
పేజీ 147
అభ్యసనాన్ని మెరుగుపరచుకోండి
-
1. 5 మరియు 7 ఉమ్మడి కారణాంకాలు గల సంఖ్యలు 35 మరియు ________.
Answer: ఇ) 70 (35 × 2 = 70)
-
2. క్రింది సంఖ్యలలో ఏది 56 యొక్క కారణాంకం కాదు?
Answer: ఆ) 6
-
3. 28 యొక్క కారణాంకాలలో 1, 2, 4 మరియు 28 ఉన్నాయి. మిగిలిన రెండు కారణాంకాలను కనుగొనండి.
జవాబు: 7 మరియు 14
-
4. 16 యొక్క మొదటి మూడు గుణిజాలను వ్రాయండి?
16, 32, 48
-
5. 56 మీటర్లు మరియు 72 మీటర్ల పొడవు గల రెండు తీగలను సమాన పొడవు గల చిన్న ముక్కలుగా కత్తిరించారు. అయిన సాధ్యమయ్యే ప్రతి ముక్క గరిష్ట పొడవు ఎంత?
56 మరియు 72 ల గ.సా.భా = 8 మీటర్లు.
-
6. పటంలో షేడ్ చేసిన ప్రాంతంలో వచ్చే సంఖ్యలు ఏవి? (2 మరియు 5 ల ఉమ్మడి గుణిజాలు)
షేడ్ చేసిన ప్రాంతంలోని సంఖ్యలు (10 గుణిజాలు): 10, 20, 30
-
7. "రెండు సంఖ్యలు సరిసంఖ్యలైతే, వాటి గ.సా.భా కనీసం 2 అయి ఉండాలి." అని విద్యార్థి చెప్పింది సరైనదేనా? మీ వాదనను వివరించండి.
సరైనదే.
వివరణ: ప్రతి సరిసంఖ్య 2 చే నిశ్శేషంగా భాగించబడుతుంది. కావున ఏ రెండు సరిసంఖ్యలకైనా 2 తప్పనిసరిగా ఉమ్మడి కారణాంకం అవుతుంది. అందువల్ల వాటి గ.సా.భా కనీసం 2 లేదా అంతకంటే ఎక్కువ ఉంటుంది.
ఉదాహరణ: 6 మరియు 8 ల గ.సా.భా = 2. -
8. వాణి కొన్ని గోళీలను తీసుకుంది. ఆమె 5 గోళీలతో, 4 లేదా 6 తో సమూహాలు చేసినప్పుడు ప్రతిసారీ ఒక గోళీ మిగిలింది. వాణి దగ్గర ఉన్న కనీస గోళీల సంఖ్య ఎంత?
4, 5, మరియు 6 ల క.సా.గు = 60.
కనీస గోళీల సంఖ్య = 60 + 1 = 61 గోళీలు. -
9. అమిత్ ప్రతి 1 గంటకు (60 నిమిషాలు), సుమిత్ ప్రతి 45 నిమిషాలకు నీళ్లు తాగడానికి అలారం పెట్టుకుంటారు. ఎన్ని గంటల తర్వాత వారి అలారాలు ఒకేసారి మోగుతాయి?
60 నిమిషాలు మరియు 45 నిమిషాల క.సా.గు = 180 నిమిషాలు.
180 నిమిషాలు = 180 ÷ 60 = 3 గంటల తర్వాత. -
10. అను ప్రతి 6 రోజులకు, శ్రేయ ప్రతి 4 రోజులకు గ్రంథాలయానికి వెళ్తారు. సోమవారం కలిసి వెళితే, తదుపరిసారి ఏ రోజున కలిసి వెళ్తారు?
6 మరియు 4 ల క.సా.గు = 12 రోజులు.
సోమవారం నుండి 12 రోజుల తర్వాత వచ్చే రోజు: సోమవారం + 12 రోజులు = శనివారం.
